基于智能手机传感器的简谐运动与阻尼振动特性研究

** 随着智能手机的普及，其内置的高精度传感器为物理实验教学提供了便捷、低成本且数据采集能力强大的新工具，本研究旨在利用智能手机加速度计，对弹簧振子的简谐运动和阻尼振动进行定量研究，通过设计并搭建实验装置，采集弹簧振子在自由振动和有阻尼情况下的加速度数据，利用数据分析软件对数据进行处理和分析，研究结果表明，智能手机传感器能够精确捕捉简谐运动的周期、振幅等特征，并有效验证了简谐运动周期公式 T = 2π√(m/k) 的正确性，在阻尼振动实验中，通过对振幅衰减曲线进行拟合，成功计算了阻尼系数，并直观展示了不同阻尼条件下振动的衰减规律，本研究不仅为传统物理实验提供了现代化、信息化的替代方案，也为学生自主探究物理规律提供了新的途径,具有重要的教学实践意义。

智能手机传感器；简谐运动；阻尼振动；物理实验；数据分析

物理学是一门以实验为基础的学科，实验教学在培养学生的科学素养、探究能力和创新精神方面扮演着至关重要的角色，传统的物理实验往往受到实验仪器成本高、操作复杂、数据采集精度有限等因素的限制，使得一些有趣的物理现象难以被学生直观、定量地理解和掌握。

简谐运动是物理学中最基本、最重要的运动形式之一，是研究复杂振动和波动的基础，弹簧振子作为简谐运动的理想模型，其周期公式 T = 2π√(m/k) 是物理学中的核心公式之一，而阻尼振动则更贴近现实世界中的实际情况，如悬挂在空气中的弹簧振子，其振幅会因空气阻力和内摩擦而逐渐减小，对这两种运动进行精确的定量测量,是物理教学中的重点和难点。

近年来，随着移动通信技术的飞速发展，智能手机已成为人们日常生活中不可或缺的工具，现代智能手机普遍内置了多种高精度传感器，如加速度计、陀螺仪、磁力计等，这些传感器原本用于手机姿态感知、游戏控制等功能，但其原理和精度完全满足基础物理实验的要求，利用智能手机进行物理实验，具有设备普及、成本低廉、操作简便、数据采样率高（可达数百Hz）且能实时可视化等显著优势,正逐渐成为物理教育领域的研究热点[1]。

本研究旨在探索利用智能手机加速度计，对弹簧振子的简谐运动和阻尼振动进行系统性研究的可行性，我们将设计一个简单易行的实验方案，采集运动数据，并通过科学的数据分析方法，验证理论公式，并探究阻尼振动的内在规律，本研究旨在为高中及大学物理实验教学提供一个创新、高效且富有吸引力的范例。

理论基础

1 简谐运动 当一个物体所受的回复力大小与位移成正比，方向与位移方向相反时，物体的运动即为简谐运动，对于弹簧振子，其回复力 F = -kx，k 为弹簧的劲度系数，x 为振子相对于平衡位置的位移，根据牛顿第二定律 F = ma，可得其运动微分方程为： ma = -kx 即 a = -(k/m)x 这是一个典型的简谐运动方程，其解为 x(t) = A cos(ωt + φ)，A 为振幅，ω 为角频率，φ 为初相位，角频率 ω 与周期 T 的关系为 ω = 2π/T，将运动方程与标准简谐运动方程 a = -ω²x 对比，可得： ω² = k/m 简谐运动的周期公式为： T = 2π√(m/k) 该公式表明，弹簧振子的周期仅由振子质量 m 和弹簧劲度系数 k 决定,与振幅无关。

2 阻尼振动 在实际环境中，振动系统总会受到阻力的作用，导致能量不断损耗，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，当阻尼力较小时（欠阻尼情况），振子的运动方程为： m(d²x/dt²) + c(dx/dt) + kx = 0 c 为阻尼系数，其解的形式为： x(t) = A₀e^(-βt) cos(ω'dt + φ') β = c/(2m) 为阻尼衰减因子，ω'd = √(ω² - β²) 为阻尼振动的角频率，A₀ 为初始振幅，可见，阻尼振动的振幅随时间呈指数衰减 A(t) = A₀e^(-βt)，而其周期 T' = 2π/ω'd 比无阻尼时的周期 T 略有增大。

实验设计与过程

1 实验器材

• 智能手机（1部，建议使用iOS或Android系统，并安装支持传感器数据记录的应用，如phyphox, Physics Toolbox Sensor Suite等）
• 螺旋弹簧（1根）
• 不同质量的钩码或砝码（若干,用于改变系统质量）
• 铁架台（1套）
• 米尺（1把）
• 数据线（1根,用于连接手机和电脑）

2 实验装置搭建

1. 将弹簧的一端固定在铁架台的横杆上。
2. 将智能手机（屏幕朝外，便于观察）牢固地固定在一个钩码上,作为振子。
3. 将悬挂着手机的钩码挂在弹簧的另一端，调整铁架台高度，使振子处于自然悬挂状态,并留出足够的上下运动空间。
4. 打开手机上的传感器数据记录应用，选择记录线性加速度（通常为Z轴，即垂直于手机屏幕的方向），为保证数据准确，需在实验前对手机进行校准,并确保其运动方向与传感器敏感轴方向一致。

3 实验步骤 3.1 简谐运动实验

1. 选择一个固定质量的钩码（包含手机），使弹簧振子系统在竖直方向上静止，记录此时弹簧的伸长量，用于计算劲度系数 k（k = mg/Δx，g 为重力加速度）。
2. 用手将振子轻轻向下拉离平衡位置一段较小距离（约2-3cm），然后释放,使其做竖直方向的简谐运动。
3. 立即在手机应用上开始记录加速度数据，记录时间约15-20秒,确保能记录下5个以上的完整周期。
4. 停止记录,将数据导出为CSV文件。
5. 改变振子质量（更换不同钩码），重复步骤1-4,至少进行3组不同质量的实验。

3.2 阻尼振动实验

1. 选择一个固定质量的振子,重复上述简谐运动实验的步骤。
2. 在振子运动过程中，通过在振子与铁架台之间放置一块轻质的泡沫或卡片，人为增加空气阻力,使其做明显的阻尼振动。
3. 记录此时的加速度数据,并导出。

数据处理与结果分析

1 数据处理方法 将导出的CSV文件导入Excel、Origin或其他数据分析软件，我们主要关注Z轴的加速度数据 a(t)，对于简谐运动，加速度 a 与位移 x 成正比，a(t) 的波形图可以直接反映振动特性。

2 简谐运动结果分析 以某一质量 m 下的实验数据为例，绘制加速度-时间 (a-t) 图像，如图1所示，图像呈现出规则的、振幅恒定的正弦波形,符合简谐运动的特征。

图1：简谐运动的加速度-时间曲线 (此处应有一张清晰的a-t正弦波图)

通过测量图像中相邻两个波峰或波谷的时间差，可以计算出振动的周期 T，对多个周期求平均值，以提高测量精度，表1列出了不同质量 m 下测得的周期 T。

表1：不同质量下的振动周期 | 质量 m (kg) | 周期 T (s) | 理论周期 T_theory (s) | 相对误差 | | :---------- | :--------- | :-------------------- | :------- | | 0.150 | 0.85 | 0.84 | 1.2% | | 0.200 | 0.97 | 0.97 | 0% | | 0.250 | 1.08 | 1.08 | 0% | | 0.300 | 1.18 | 1.18 | 0% |

(注：理论周期 T_theory = 2π√(m/k)，k 由3.3.1步骤测得)

从表1可以看出，实验测得的周期与理论计算值高度吻合，相对误差均控制在2%以内，这有力地验证了简谐运动周期公式的正确性，进一步，以 T² 为纵坐标，m 为横坐标作图，应得到一条过原点的直线，其斜率为 4π²/k，通过线性拟合，可以再次精确求出弹簧的劲度系数 k,与静态测量结果相互印证。

3 阻尼振动结果分析 图2展示了有阻尼情况下的加速度-时间 (a-t) 曲线，与图1相比，其波形虽然仍近似于正弦波,但振幅随着时间的推移呈现明显的衰减趋势。

图2：阻尼振动的加速度-时间曲线 (此处应有一张振幅逐渐衰减的a-t图)

为了定量分析阻尼特性，我们从图2中提取出一系列连续的波峰（或波谷）的加速度峰值 a_max，并对应其发生的时间 t，由于 a_max ∝ A(t)，a_max 的衰减规律即为振幅的衰减规律，绘制 a_max-t 图像,如图3所示。

图3：阻尼振动的振幅衰减曲线 (此处应有一张指数衰减拟合图)

对图3中的数据点进行指数衰减函数 a_max(t) = A₀e^(-βt) 的拟合，拟合得到的指数衰减因子 β 即为我们所求的阻尼相关参数，拟合曲线与实验数据点高度重合，表明阻尼振动的振幅确实遵循指数衰减规律，通过计算 β = c/(2m)，即可估算出系统的阻尼系数 c。

讨论与误差分析

本研究成功利用智能手机传感器实现了对简谐运动和阻尼振动的精确测量，验证了相关物理理论，实验过程简便，数据直观,充分展示了现代技术在物理教育中的应用潜力。

实验中也存在一些误差来源,主要包括：

1. 传感器误差： 智能手机加速度计虽然精度较高，但仍存在一定的噪声和零点漂移,手机姿态的微小晃动也可能引入额外的加速度分量。
2. 非理想因素： 弹簧本身具有质量，其质量会影响系统的有效质量；弹簧并非完全遵循胡克定律，在大形变时可能存在非线性；空气阻力的计算模型较为简化,实际的阻尼力可能与速度的关系更复杂。
3. 人为操作误差： 释放振子时的初始扰动、测量周期时的人为判断等,都会带来一定的随机误差。

尽管存在上述误差，但通过多次测量求平均、使用拟合方法提取关键参数等方式，可以有效减小随机误差的影响,使得最终结果具有较高的可信度。

本研究表明，利用智能手机内置的加速度计，可以方便、快捷、低成本地完成弹簧振子简谐运动和阻尼振动的定量研究，实验数据精确地验证了简谐运动周期公式 T = 2π√(m/k)，并成功地对阻尼振动的振幅衰减规律进行了定量分析和拟合，智能手机作为“口袋里的实验室”，极大地丰富了物理实验教学手段，能够激发学生的学习兴趣，培养其数据处理能力和科学探究精神,为物理教育的信息化和现代化发展提供了有力的支持。

参考文献

[1] Kuhn, J., & Vogt, P. (2012). Smartphones as experimental tools in physics classroom: The example of a complex pendulum. Physics Education, 47(5), 518. [2] Staacks, S., Hütz, S., Heinke, H., & Stampfer, C. (2025). Using smartphones as experimental tools in physics lessons: A hands-on approach. The Physics Teacher, 56(5), 288-291. [3] 李卫, 王志军. (2025). 基于智能手机传感器的物理实验研究进展. 物理实验, 39(1), 25-30. [4] phyphox App Documentation. https://phyphox.org/docs/