数学课题研究个案分析是教育研究中一种重要的方法,通过深入剖析单个学生或小群体的数学学习过程，揭示其认知特点、学习障碍及发展规律，为个性化教学提供实证依据，以下以一名初中生“分式方程应用题”学习困难的个案为例，展开详细分析。
个案背景与问题呈现
研究对象为某中学八年级学生小明（化名），男，13岁，数学成绩处于班级下游（期中考试数学65分，班级平均分82分），在“分式方程”单元学习中，小明表现出明显的应用题解题障碍，具体表现为：无法准确设未知数、列方程时忽略分母不为零的条件、解方程步骤混乱、缺乏检验意识，课后作业显示，其在“行程问题”“工程问题”两类经典题型上正确率不足30%，且多次出现相同类型的错误。
问题诊断与归因分析
通过与小明访谈、课堂观察及作业分析，结合其数学基础测试（得分率58%），发现其学习困难主要源于以下四方面：
（一）知识断层与概念混淆
- 基础薄弱：测试显示小明对“分式的基本性质”“分式的约分通分”等前置知识掌握不牢，例如将(\frac{x-1}{x^2-1})约分时错误得出(\frac{1}{x})，忽略了(x≠±1)的条件。
- 方程概念模糊：混淆“分式方程”与“整式方程”，在解(\frac{2}{x-3} = \frac{1}{x})时，直接交叉相乘得到(2x = x-3)，漏掉了“最简公分母”的求解步骤。
（二）解题策略缺失
| 解题阶段 | 典型错误表现 | 原因分析 |
|---|---|---|
| 审题阶段 | 忽略隐含条件（如“单独完成需5天”） | 语文理解能力弱，无法提取关键信息 |
| 设未知数 | 设“工作效率”为未知数而非“工作时间” | 对工程问题中“1=工作效率×时间”的关系不清晰 |
| 列方程 | 方程两边单位不统一（如左边用小时，右边用天） | 量纲意识缺乏，未建立等量关系模型 |
| 解方程 | 去分母时漏乘常数项 | 运算规则记忆不牢固，步骤跳跃 |
（三）元认知能力不足
小明解题前无计划,解中不监控，解后不反思，解出(x=3)后未检验是否使原方程分母为零，导致增根问题频发，访谈中他表示：“只要算出答案就行，没想到还要检查。”
（四）非认知因素影响
数学学习焦虑量表（MARS）显示小明的焦虑得分高于常模（76分/100分），他表示：“一看到应用题就头疼，觉得肯定做不出来，干脆乱写。”
干预策略与实施过程
基于上述诊断,制定为期4周的个性化干预方案，重点从“知识重构”“策略训练”“元认知培养”三方面入手：
（一）知识补救：搭建“脚手架”
- 前置知识强化：通过“分式—方程”知识导图，梳理分式性质、整式方程解法与分式方程的联系，设计针对性练习（如分式化简、一元一次方程解法复习）。
- 概念辨析：制作分式方程与整式方程的对比表格，强调“检验”的必要性，举例说明增根产生的原因。
（二）解题策略训练：分步拆解
采用“三步法”训练应用题解题能力：
- 审题画图：要求用符号标注已知量、未知量，绘制线段图（行程问题）或表格（工程问题）；
- 等量关系模板：提供“路程=速度×时间”“工作总量=效率×时间”等核心模型，引导学生套用；
- 规范书写：要求按“设—列—解—验—答”五步书写，并制作错题卡标注易错点。
（三）元认知与情感干预
- 出声思维训练：让小明边解题边口头说出思考过程，教师及时引导；
- 小目标激励：将复杂问题拆解为小目标（如“今天学会正确设未知数”），每完成一个给予表扬；
- 放松训练：教授深呼吸法缓解焦虑，每天记录“进步日记”。
干预效果与反思
经过4周干预,小明在分式方程应用题单元测试中得分提升至82分，正确率从30%提高至75%，具体进步表现为：
- 知识层面：分式化简正确率达90%，能独立完成分式方程解法并检验；
- 策略层面：能正确画图分析等量关系，设未知数合理性显著提高；
- 情感层面：MARS焦虑量表降至52分，主动向教师请教问题次数增加。
反思：本案例表明，数学学习困难往往是知识、策略、情感多因素交织的结果，干预需精准定位问题根源，通过“小步子、多反馈”的方式重建学习信心，个案研究也存在局限性，如样本单一、干预周期短，未来可结合大样本数据进一步验证策略有效性。
相关问答FAQs
Q1：如何判断学生数学学习困难的具体原因？
A1：需通过“三诊法”综合判断：一是“前测诊断”，通过基础知识点测试排查知识断层；二是“过程诊断”，通过课堂观察、解题录音分析策略使用情况；三是“情感诊断”，采用焦虑量表、访谈了解非认知因素，若学生前测得分低且解题步骤混乱，多为知识基础问题；若前测正常但审题错误频发，则需侧重策略训练。
Q2：数学课题研究个案分析如何保证推广性？
A2：个案研究的推广性不依赖于样本数量，而在于“可迁移性”，需详细描述个案特征（如年级、基础水平、问题类型）、干预环境及具体策略，使其他研究者能结合自身实际进行调整，可采用“复制个案法”，选取相似背景的学生重复干预，若效果一致，则可增强结论可信度，个案结果需与已有理论（如建构主义学习理论）对话，解释其普遍适用机制。
